Coordenadas polares

 Coordenadas Polares 6/10/21

Las coordenadas polares son medidas por grados, si el valor es positivo el sentido es en contra del reloj, si el valor es negativo es en sentido del reloj. así mismo es importante recordar que las coordenadas polares se pueden usar como ya se menciono grados, pero también es posible usar esos mismos grados en radianes es decir en vez de decir 180 grados se dice que es pi medios. Para un mayor entendimiento, se muestra a continuación un circulo trigonométrico a modo de ejemplo:

como se puede observar y como se mencionó anteriormente, podemos encontrar los valores de los ángulos en radianes, también se puede observar que contiene los ángulos que suelen ser mas usados, pero realmente se puede usar cualquier ángulo.

con esto en cuenta, es importante mencionar que las coordenadas polares usan otro tipo de plano el cual está formado por circulos concéntricos y así como el plano cartesiano dividido en 4 cuadrantes, luciendo de la siguiente manera:

como se puede observar, los circulos representan a una unidad, en este caso enteros y así como en el plano cartesiano normal, va de positivo a negativo tanto en X como en Y.

Para graficar un punto dado en coordenadas polares hay que tener en cuenta dos factores principales. primero, que el valor que seria de X es R (radio)  y este es un número. segundo, el valor que pertenecería a Y es el angulo donde se encuentra R. Es decir, el primer valor del punto nos indicara en que circulo se encontrara y el segundo valor el angulo en cual se encuentra. 

Ejemplo:

P(4, π/6) *en caso que sea dificil usar radianes, en este caso es importante recordar que π/6 es igual a 30° grados.*

entonces:    P(4, 30°)

gráficamente se ve de la siguiente manera:

únicamente cabe aclarar que la linea donde se sitúa el punto es la que indica que ese ángulo es el de 30° grados.

conversión de polares a rectangulares.

para convertir un punto polar a rectangular, es necesario recordar que en el eje de las x la función trigonométrica es seno y en el eje de las y es cos, obviamente en este caso sen y cos de theta (ángulo).

entonces para hacer la conversión se tiene que:

x = r cosθ        y = r senθ

donde r = radio. entonces:

P(2, π/6)

x = 2 cos π/6 = √3

y = 2 sen π/6 = 1

quedando el punto en su forma rectangular en P(√3, 1)

conversión de rectangulares a polares.

para convertir un punto rectangular a su forma polar, necesitamos la ecuación que describe a la circunferencia y la funcion trigonometrica de tangente.

r^2= x^2 + y^2        tanθ = y/x

entonces:

P (-1,1)                            tanθ = y/x

r^2 = (-1)^2 + (1)^1          tanθ =  1/-1 = -45°

r = √2

resultado: P(√2, 135°)

graficación de ecuaciones polares.

para la graficación de ecuaciones polares, únicamente debe seleccionarse un rango, dicho rango puede ser cualquiera que necesitemos o con el que nos sea mas fácil trabajar, esto quiere decir que debemos elegir los ángulos, lo mas común es usar los ángulos mas utilizados es decir 0,30,60,90. etc. después de haber seleccionado el rango solo debemos sustituir el valor de cada ángulo en nuestra función, concretamente en theta y en caso que theta este acompañado por otro argumento, únicamente multiplicamos el valor del argumento por cada ángulo. 

Ejemplo:

r = 4 cos2θ

rango: de 0 a 360° o lo que es igual a 2π

entonces la sustitución de valores sería de la siguiente manera:

4 cos (2*0) = 4

4 cos (2*30) = 2

y así sucesivamente. para graficar manualmente lo mas recomendable es marcar punto por punto e ir trazando la linea para así saber cual es el orden en que cada punto fue apareciendo.

gráficamente hablando se ve de la siguiente manera:

Pendiente y recta tangente.

la pendiente se define como la recta tangente a la gráfica de una ecuación polar, r = f(), así mismo es necesario recordar que al eje de las x le corresponde coseno y al eje de las y seno, que dando de la siguiente manera:

r f(θ)        x = r cosθ        y = r senθ

entonces:

dy/dx = f(θ) cosθ + f ' (θ) senθ/ - f(θ) senθ + f ' (θ) cosθ

también es importante recordar que, para calcular la pendiente y la recta tangente es importante convertir la función dada en ecuaciones paramétricas. para esto únicamente se debe multiplicar la función dada por x = r cos θ y por y = r sen θ.

para un mayor entendimiento se muestra el siguiente ejemplo:

r = 4sen3θ        θ = 30° o π/6

x = r cosθ = 4sen3θ cosθ

y = r senθ = 4sen3θ senθ

dy/dθ = u = 4sen3θ        v = senθ

              u' = 12cos3θ       v' = cosθ

dy/dθ = 4sen3θ cosθ+ 12cos3θ senθ

dx/dθ = u = 4sen3θ            v = cosθ

              u' = 12cos3θ         v' = -senθ

dx/dθ =  -4sen3θ senθ + 12cos3θ cosθ

dy/dx = 4sen3θ cosθ+ 12cos3θ senθ / -4sen3θ senθ + 12cos3θ cosθ =   -√3

para obtener el resultado mostrado, únicamente debe sustituirse el valor de theta en cada función.

una vez obteniendo la pendiente es necesario conseguir el punto, para eso se debe sustituir el valor de theta en las ecuaciones paramétricas.

x = 4sen(3*30) cos(30) = 2√3

y = 4sen(3*30) sen(30) = 2

P(2√3 , 2)

Recta tangente

para obtener la recta tangente, es necesario contar con el punto, la pendiente y la ecuación de la recta.

entonces:

P(2√3, 2) m = -√3

y - y1 = m (x - x1)

y - 2 = -√3 (x - 2√3)

y - 2 = -√3x + 6

y = -√3x + 6 + 2

y = -√3x + 8

Tangentes horizontales y verticales

para obtener las tangentes horizontales y verticales es muy importante tener en cuenta que no siempre se va a hacer uso de los mismos pasos, ya que, dependiendo de la función que nos den deberemos hacer uso de distintas identidades trigonométricas así como de sus funciones recíprocas. por ende esto también provocara una variación en el método de derivación. por ultimo es necesario asignar un rango para theta.

ejemplo:

r = senθ        θ = 0 a π o 180°

x = senθ cosθ        y = senθ senθ = sen^2θ

dx/dθ = cos^2-sen^2 = 2cosθ

dy/dθ = 2senθ cosθ = sen2θ

igualamos a cero

para este punto, es importante saber o buscar en que grados theta es igual con cero.

cos2θ = 0            θ = π/4, 3π/4 

sen2θ = 0            θ = 0, π/2

sustituir

(√2/2, π/4) (√2/2, 3π/4) Vertical

(0, 0) (1, π/2) Horizontal