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Coordenadas polares

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  Coordenadas Polares 6/10/21 Las coordenadas polares son medidas por grados, si el valor es positivo el sentido es en contra del reloj, si el valor es negativo es en sentido del reloj. así mismo es importante recordar que las coordenadas polares se pueden usar como ya se menciono grados, pero también es posible usar esos mismos grados en radianes es decir en vez de decir 180 grados se dice que es pi medios. Para un mayor entendimiento, se muestra a continuación un circulo trigonométrico a modo de ejemplo: como se puede observar y como se mencionó anteriormente, podemos encontrar los valores de los ángulos en radianes, también se puede observar que contiene los ángulos que suelen ser mas usados, pero realmente se puede usar cualquier ángulo. con esto en cuenta, es importante mencionar que las coordenadas polares usan otro tipo de plano el cual está formado por circulos concéntricos y así como el plano cartesiano dividido en 4 cuadrantes, luciendo de la...
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Longitud de arco

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  Longitud de arco 05/10/21 antes de explicar como encontrar la longitud del arco, es importante aclarar a modo de repaso que un arco es un segmento de una curva. A dicho segmento se le puede calcular la longitud, teniendo en cuenta la siguiente expresión: teniendo en cuenta la expresión mostrada, entonces lo único que se debe hacer antes de calcular la longitud del arco, es derivar ambas ecuaciones.  Ejemplo: x = 3t + 5          y = 7-2t            rango: -1 a 3 dx/dt = 3          dy/dt = -2 entonces: por ultimo una vez integrado, se debe evaluar el resultado de la forma b - a, recordando que en nuestra integral el rango a evaluar precisamente es de -1 a 3. quedando entonces: √ 13 (3) -  √13 (-1) 10.81+3.60 = 14.41  longitud de arco =  14.41
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Rectas tangentes a una curva

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  Rectas tangentes a una curva 4/10/21 para encontrar las rectas tangentes a una curva es necesario tener 3 elementos fundamentales, siendo estos:  sustituir el parámetro obtener el punto usar la ecuación punto-pendiente. teniendo así el siguiente ejemplo: x = 2t     y = 3t + 1 para dicho procedimiento primero deben derivarse ambas ecuaciones y posteriormente dividir los resultados: dx/dt = 2          dy/dt = 3          dy/dt = 3/2 pendiente posteriormente debemos obtener los puntos de la siguiente manera: x = 2(3) = 6 y = 3(3)+1 = 10          puntos x = 6, y = 10 una vez teniendo los puntos únicamente debemos usar la ecuación punto pendiente y resolverlo de la siguiente forma: (y-10) = 3/2 (x-6) y-10 = 3/2x - 9               notar que aquí el nueve sale de 3/2*6 = 18/2 = 9 y = 3/2x-9+10               ...
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Pendiente, concavidad y gráfica

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  Hallar pendiente, concavidad y gráfica teniendo en cuenta el tema de derivación paramétrica, primero se debe hallar la pendiente para después sacar la concavidad y graficar.  a modo de breve repaso hay que recordar que para hallar la pendiente, teniendo un conjunto de ecuaciones paramétricas y un parámetro t, únicamente primero deben derivarse las ecuaciones f(t) y g(t) que es lo mismo en este caso que x e y y dividir ambos resultados es decir la derivada de dy/dt. Ejemplo: hallar la pendiente, concavidad y gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. x =  √ t          y = 1/4 (t^2 - 4)          t = 4 pendiente. dx/dt =  √ t = t^1/2 = 1/2 t^1/2-1 = 1/2 t^-1/2 dy/dt = 1/4 dy/dt = t^2-4 = 2t = 1/4 * 2t = 1/2 t  dy/dx = 1/2 t / 1/2 t^-1/2 = t/2 / t^-1/2/2 = 2t / 2t^-1/2 = t^3/2 pendiente = t^3/2 = (4)^3/2 = 8 concavidad. d^2y / dt = t^3/2 = 3/2 t^3/2-1 = 3/2 t^1/2 d^2y / dx^2 = 3/2 t^1/2 / 1/2 t^-1...
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Derivación paramétrica

  Derivación paramétrica 29/09/21 Sean x = f(t) y y = g(t) ecuaciones paramétricas de una curva suave, entonces la pendiente de la recta tangente un punto P(x,y) sobre c, está dada por dy/dx. Para calcular dicha derivada, se usa la misma definición de la derivada. dy/dx = lim delta x -> 0  entonces, para un incremento en delta t, los incrementos en x y y son, respectivamente: Δ x = f( t +  Δ t) - f(t)     e     y  Δ y = g( t +  Δ t) - g(t) y por ello  Δ y/ Δ x =  Δ y/ Δ t  Δ x/ Δ t = g( t +  Δ t) - g(t)/  Δ t / f( t + Δ t) - f(t)/  Δ t por tanto dy/dx = lim  Δ x --> 0  Δ y/ Δ t = dy/dt / dx/dt Ejemplo: x = 4 + 2 cos t y = -1 + sen t t =  π /6 = 30° Derivando x e y  dx/dt = -2 sen t dy/dt = cos t dividiendo dy/dx dy/dx = cos t / -2 sen t = -1/2 cot t sustituyendo t en el resultado anterior -1/2 cot t = -1/2 cot (30°) = -0.86
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Eliminación del parámetro

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  Eliminación del parámetro 28/09/21 para encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas, es necesario eliminar el parámetro en este caso t, pero cabe recalcar que puede ser cualquier otro como funciones trigonométricas ya sea sen, cos, tan, sec, etc. Entonces si tenemos: x = t^2-4     y = t/2 *nótese que en este ejemplo, para la eliminación del parámetro únicamente debemos hacer un despeje en la ecuación que nosotros elijamos usar, siempre tomando en cuenta cual va a ser la mas fácil de trabajar: x = t^2-4     y = t/2 2y = t (únicamente el 2 que divide a t pasa multiplicando a y) posteriormente el valor obtenido se utiliza en la ecuación que no hayamos usado, teniendo en cuenta entonces que 2y = t entonces: x = (2y)^2-4  x = 4y^2-4     ecuación cuadrática. como resultado podemos observar que la ecuación rectangular obtenida es una ecuación cuadrática ya que,...
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Curvas Planas

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  Curvas Planas 27/09/21 Son todas aquellas que están contenidas en un plano. Entonces, si f y g son funciones continuas de t en un intervalo, (recordando que t es un parámetro). entonces las ecuaciones, son conocidas como ecuaciones paramétricas donde x = f(t) e y = g(t). Esto quiere decir que al conjunto de puntos (x,y) que se obtiene cuando t vaya sobre el intervalo se le llama una curva plana y se denota por la letra C. si el componente z = 0, esto nos indica que está en el plano xy, es decir espacio bidimensional. trazar una curva plana para trazar una curva plana es necesario tener 3 elementos indispensables, primeramente la función paramétrica de x, la función paramétrica en función de y, y el rango del parámetro.  Entonces: x = t^2-4     y= t/2     -2  ≤ t  ≥ 3 (esto quiere decir que el rango será de -2 a 3) posteriormente debe sustituirse el valor de t en cada ecuación. x = (-2)^2-4 = 0 y así sucesivamente con cada valor de t en x y y te...
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