Eliminación del parámetro

 Eliminación del parámetro 28/09/21

para encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas, es necesario eliminar el parámetro en este caso t, pero cabe recalcar que puede ser cualquier otro como funciones trigonométricas ya sea sen, cos, tan, sec, etc.

Entonces si tenemos:

x = t^2-4    y = t/2

*nótese que en este ejemplo, para la eliminación del parámetro únicamente debemos hacer un despeje en la ecuación que nosotros elijamos usar, siempre tomando en cuenta cual va a ser la mas fácil de trabajar:

x = t^2-4    y = t/2

2y = t (únicamente el 2 que divide a t pasa multiplicando a y)

posteriormente el valor obtenido se utiliza en la ecuación que no hayamos usado, teniendo en cuenta entonces que 2y = t entonces:

x = (2y)^2-4 

x = 4y^2-4    ecuación cuadrática.

como resultado podemos observar que la ecuación rectangular obtenida es una ecuación cuadrática ya que, está elevada a la 2da potencia.

gráficamente luce de la siguiente manera:


como se puede observar, es una parábola cuyas coordenadas están en v = (-4,0), que abre hacia la derecha. 


Si bien, para eliminar el parámetro t en el caso anterior fue sencillo debido a que solo se necesita usar un despeje, para eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas cuyas ecuaciones tengan funciones trigonométricas, es necesario hacer uso de las entidades trigonométricas como se verá a continuación.

si se tiene:

x = 3cosθ    y = 3senθ

entonces:

x^2+y^2 = (3cosθ )^2 + (3senθ)^2 

*notar que aquí se usa la ecuación de la circunferencia)

x^2+y^2 = 9cos^2θ +9sen^2θ 

en este caso, tenemos factor común por lo que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

x^2+y^2 = 9(cos^2θ + sen^2θ)

teniendo así la siguiente entidad trigonométrica:

cos^2θ + sen^2θ  = 1

el uso de esta entidad trigonométrica nos sirve para eliminar el parámetro que en este caso son sen y cos, quedando:

x^2+y^2 = 9 (1)

x^2+y^2 = 9 cuyo radio es de 3 ya que la raíz de 9 es 3.

por ultimo se puede decir que su centro está en el origen ya que, las ecuaciones paramétricas no cuentan con ningún numero que les acompañe, con esto queremos decir que dichas ecuaciones no están de la sig. forma: 2+3cosθ, para que esto sea mas fácil de entender, hay que ver en caso de que la ecuación viniera como se expresa en el ejemplo, como dos conjuntos siendo el 2 el que nos indicaría donde esta ubicado su coordenada en x y el +3cosθ como el otro conjunto de la ecuación, lo mismo pasaría con la ecuación en y.

gráficamente hablando luce de la siguiente forma:




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