Rectas tangentes a una curva

 Rectas tangentes a una curva 4/10/21

para encontrar las rectas tangentes a una curva es necesario tener 3 elementos fundamentales, siendo estos: 
  1. sustituir el parámetro
  2. obtener el punto
  3. usar la ecuación punto-pendiente.
teniendo así el siguiente ejemplo:

x = 2t    y = 3t + 1

para dicho procedimiento primero deben derivarse ambas ecuaciones y posteriormente dividir los resultados:

dx/dt = 2        dy/dt = 3        dy/dt = 3/2 pendiente

posteriormente debemos obtener los puntos de la siguiente manera:

x = 2(3) = 6 y = 3(3)+1 = 10        puntos x = 6, y = 10

una vez teniendo los puntos únicamente debemos usar la ecuación punto pendiente y resolverlo de la siguiente forma:

(y-10) = 3/2 (x-6)

y-10 = 3/2x - 9            notar que aquí el nueve sale de 3/2*6 = 18/2 = 9

y = 3/2x-9+10             

notar que aquí únicamente se hizo un despeje pasando el -10 al otro lado y quedando positivo.


Tangentes horizontales y verticales.

para poder encontrar las tangentes verticales y horizontales es muy importante entender ciertos elementos para así, saber cuando se trata de una tangente horizontal o vertical:

dy/dt = 0 y dx/dt  ≠ 0 entonces se trata de una tangente horizontal 


dy/dt ≠ 0 y dx/dt = 0 entonces se trata de una tangente vertical


teniendo en cuenta lo explicado, se verá el siguiente ejemplo:

graficar la siguiente curva.

x = t^2-4        y = t^3-3t

intersección en x --> y = 0

y = t^3-3t        t = 0
t^3-3t = 0        t = - √3
t (t^2-3) = 0    t = √3
t = √ 3


tangente horizontal dy/dt = 0

y = t^3-3t            t = 1
dy/dt = 3t^2-3     t = -1
3t^2-3 = 0
3t^2=3
t^2=3/3
t=√1

intersección en y --> x = 0

x = t^2-4        t = 2
t^2-4 = 0        t = -2
t^2 = 4
t = √4
t = 2

tangente vertical dx/dt = 0

x = t^2-4
dx/dt = 2t
2t=0
t = 0

Graficar.

para graficar manualmente, unicamente deben tomarse los valores obtenidos de t que en este ejemplo son: -2, -√3, -1, 0, 1, √3, 2

posteriormente dichos valores se van sustituyendo en cada ecuación, obteniendo una tabla como esta:
 

una vez obtenidos los valores, solo queda graficar por donde pasan dichos puntos. 

gráficamente hablando luce de la siguiente manera:


es importante observar que para trazar las tangentes únicamente se debe tomar en cuenta los puntos obtenidos de la tabla, por dicha razón se uso GeoGebra para que fuera mas visual y por ende entendible la forma de graficar horizontalmente y verticalmente.

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Eliminación del parámetro

Imagen
  Eliminación del parámetro 28/09/21 para encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas, es necesario eliminar el parámetro en este caso t, pero cabe recalcar que puede ser cualquier otro como funciones trigonométricas ya sea sen, cos, tan, sec, etc. Entonces si tenemos: x = t^2-4     y = t/2 *nótese que en este ejemplo, para la eliminación del parámetro únicamente debemos hacer un despeje en la ecuación que nosotros elijamos usar, siempre tomando en cuenta cual va a ser la mas fácil de trabajar: x = t^2-4     y = t/2 2y = t (únicamente el 2 que divide a t pasa multiplicando a y) posteriormente el valor obtenido se utiliza en la ecuación que no hayamos usado, teniendo en cuenta entonces que 2y = t entonces: x = (2y)^2-4  x = 4y^2-4     ecuación cuadrática. como resultado podemos observar que la ecuación rectangular obtenida es una ecuación cuadrática ya que,...
Leer más

Coordenadas polares

Imagen
  Coordenadas Polares 6/10/21 Las coordenadas polares son medidas por grados, si el valor es positivo el sentido es en contra del reloj, si el valor es negativo es en sentido del reloj. así mismo es importante recordar que las coordenadas polares se pueden usar como ya se menciono grados, pero también es posible usar esos mismos grados en radianes es decir en vez de decir 180 grados se dice que es pi medios. Para un mayor entendimiento, se muestra a continuación un circulo trigonométrico a modo de ejemplo: como se puede observar y como se mencionó anteriormente, podemos encontrar los valores de los ángulos en radianes, también se puede observar que contiene los ángulos que suelen ser mas usados, pero realmente se puede usar cualquier ángulo. con esto en cuenta, es importante mencionar que las coordenadas polares usan otro tipo de plano el cual está formado por circulos concéntricos y así como el plano cartesiano dividido en 4 cuadrantes, luciendo de la...
Leer más

Pendiente, concavidad y gráfica

Imagen
  Hallar pendiente, concavidad y gráfica teniendo en cuenta el tema de derivación paramétrica, primero se debe hallar la pendiente para después sacar la concavidad y graficar.  a modo de breve repaso hay que recordar que para hallar la pendiente, teniendo un conjunto de ecuaciones paramétricas y un parámetro t, únicamente primero deben derivarse las ecuaciones f(t) y g(t) que es lo mismo en este caso que x e y y dividir ambos resultados es decir la derivada de dy/dt. Ejemplo: hallar la pendiente, concavidad y gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. x =  √ t          y = 1/4 (t^2 - 4)          t = 4 pendiente. dx/dt =  √ t = t^1/2 = 1/2 t^1/2-1 = 1/2 t^-1/2 dy/dt = 1/4 dy/dt = t^2-4 = 2t = 1/4 * 2t = 1/2 t  dy/dx = 1/2 t / 1/2 t^-1/2 = t/2 / t^-1/2/2 = 2t / 2t^-1/2 = t^3/2 pendiente = t^3/2 = (4)^3/2 = 8 concavidad. d^2y / dt = t^3/2 = 3/2 t^3/2-1 = 3/2 t^1/2 d^2y / dx^2 = 3/2 t^1/2 / 1/2 t^-1...
Leer más